[수리물리학] 변분법 - 최단강하곡선 사이클로이드 (2)

이 글은 기존 글에 이어지므로 오일러-라그랑주 방정식을 모른다면 아래의 링크를 참고하기 바란다.

https://dotorylab.tistory.com/1

[수리물리학] 변분법 - 오일러 라그랑주 방정식(1)

 

최단강하곡선이란?

중력이 작용하는 좌표평면을 생각해보자. 좌표평면 상에서 두 점 $P, Q$를 아래 그림과 같이 잡는다면, 점 $P$에서 점 $Q$까지 가장 빠르게 가도록 하는 곡선은 무엇일까?

좌표평면 상의 두 점 $P, Q$

 

이처럼 어떤 두 점을 잇는 곡선 중 최단 시간으로 내려가게 하는 곡선을 최단강하곡선이라고 부른다.

 

제목에 써 있듯이 이 문제의 답은 놀랍게도 사이클로이드다. (사이클로이드가 무엇인지는 알고 있는 걸로 간주하고 글을 작성할 것이다)

 

왜 사이클로이드가 최단강하곡선인지 증명해보도록 하겠다.

사이클로이드 최단강하곡선 증명

우리는 앞서 배웠던 오일러-라그랑주 방정식을 활용하여 아래의 두 점 $P, Q$를 잇는 최단강하곡선이 사이클로이드임을 증명할 것이다. 계산의 편의를 위해 각각의 점을 $x, y$축위에 놓았다.

좌표평면 상 두 점 $P, Q$를 잇는 곡선

 

오일러-라그랑주 방정식을 활용하기 위해선 우리가 무엇을 최소화할 것인지를 알아야 한다.

 

우리는 시간을 최소화할 것이므로 최소화할 식 $I$를 아래와 같이 적을 수 있다.
$$
I = \int{dt}
$$
다만 우리는 $F(x,y,y')$혹은 $F(y,x,x')$을 구해야 오일러-라그랑주 방정식을 활용할 수 있다. 따라서 식을 좀 더 변형해보도록 하자.

 

물리를 배웠다면 아래의 식이 성립한다는 것을 쉽게 알 수 있다. ($v$는 물체의 속력이다)
$$
\frac{ds}{dt}= v, \ dt = \frac{1}{v}ds
$$
여기서 $v$를 $x, y, y'$에 대한 식으로 변형시켜야 함수 $F$를 구할 수 있으므로, 역학적에너지 보존법칙을 사용할 것이다.

 

아래와 같이 식 전개를 통해 $v$를 $y$에 대한 식으로 표현할 수 있다. (위치에너지의 기준을 $y=0$으로 잡았다)
$$
0 + mgy = \frac{1}{2}mv^{2}+0
$$
$$
\therefore v = \sqrt{2gy}
$$

위에서 유도한 2개의 식을 통해 아래와 같이 $I$를 변형시킬 수 있으며, 이를 통해 함수$F$를 구할 수 있다.
$$
I = \int{dt} = \int{\frac{1}{v}ds}
$$
$$
=\int{\frac{1}{\sqrt{2gy}}ds} = \frac{1}{\sqrt{2g}}\int{\frac{1}{\sqrt{y}}\sqrt{1+x'^{\ 2}}\ dy}
$$
$$
\therefore F(y, x, x') = \sqrt{\frac{1+x'^{\ 2}}{y}}
$$
이를 오일러-라그랑주 방정식에 대입하여 풀어보도록 하자. (여기서 $F(x,y,y')$이 아닌 $F(y,x,x')$을 구했다는 것을 볼 수 있는데 이는 계산의 편의를 위한 것이며 이 때문에 나중에 사용할 오일러-라그랑주 방정식의 형태 또한 $x$와 $y$의 위치가 바뀐 것을 확인할 수 있다.)

$$
\frac{d}{dy}\frac{\partial{F}}{\partial{x'}}- \frac{\partial{F}}{\partial{x}}=0
$$
$$
\frac{\partial{F}}{\partial{x}} = 0 \rightarrow \frac{d}{dy}\frac{\partial{F}}{\partial{x'}} = 0
$$
$$
\therefore \frac{\partial{F}}{\partial{x'}} = const
$$
상수를 $a$로 둔다면
$$
\frac{\partial{F}}{\partial{x'}} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{x'}{\sqrt{1+x'^{\ 2}}} = a
$$
$$
x'^{\ 2} = a^{2}y(1+x'^{\ 2})
$$
$$
\therefore x' = \sqrt{\frac{a^{2}y}{1+a^{2}y}}
$$
해당 미분방정식을 풀려고 시도해볼 수는 있으나 사이클로이드를 알고 있다면 사이클로이드를 $y=f(x)$꼴로 표현하는 건 불가능하다는 것을 알 수 있다. 따라서 매개변수를 사용하여 $x, y$를 표현해주어야 한다.

 

$y$를 매개변수 $\theta$를 이용하여 아래와 같이 놓고 $x$를 구해보도록 하겠다.
$$
y = \frac{1}{a^{2}}sin^{2}\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2a^{2}}(1-cos\theta)
$$
$$
x' = \sqrt{\frac{a^{2}y}{1+a^{2}y}} = tan \frac{\theta}{2}
$$
$$
dx = tan \frac{\theta}{2}dy = tan \frac{\theta}{2} \frac{1}{2a^{2}}sin\theta d\theta
$$
$$
x = \int{dx} = \int{\frac{1}{2a^{2}}(1-cos\theta)d\theta} = \frac{1}{2a^{2}}(1-cos\theta) + C
$$
이 때 $\theta = 0$이면 $y = 0$이므로 $\theta = 0$이면 $x = x_{2}$이다. 따라서 $C = x_{2}$을 알 수 있다. 결론적으로 $\theta$를 통해 $x, y$를 표현하면 아래와 같다.
$$
\therefore x = \frac{1}{2a^{2}}(\theta - sin\theta) + x_{2}, \ y = \frac{1}{2a^{2}}(1-cos\theta)
$$
사이클로이드를 알고 있다면 해당 형태의 식은 사이클로이드임을 알 수 있고, 이렇게 최단강하곡선이 사이클로이드임을 증명하였다.

 

다음 글은 라그랑지안에 대해 다루어보도록 하겠다.