[수리물리학] 변분법 - 오일러 라그랑주 방정식 (1)

변분법이란?

변분법(calculus of variations)은 간략하게 말하면 미적분의 한 분야로, 범함수의 최대 최소를 찾는 방법에 관한 것이다. 여기서 범함수란 함수를 입력받아 어떤 수를 출력하는 함수를 말한다.

 

변분법이 어떻게 쓰일 수 있는지 감이 잡히지 않을 수 있으므로 예를 들어보겠다. 좌표평면 상에 존재하는 두 점 $P(x_1,y_1), Q(x_2,y_2)$을 연결하는 곡선 중 가장 길이가 짧은 곡선은 무엇인가? 이 질문의 답은 어렵지 않게 '$P, Q$를 지나는 직선'임을 알 수 있다. 다만, 이를 증명하라고 한다면 꽤나 쉽지 않다는 것을 느낄 수 있다.

 

위의 문제에서 범함수는 입력을 $P, Q$를 잇는 곡선으로 받고, 해당 곡선의 길이를 출력할 것이다. 그렇기에 해당 범함수의 최소를 찾는 방법을 알아낸다면 이에 대한 답이 '$P, Q$를 지나는 직선'임을 증명할 수 있다. 이러한 방식으로 변분법은 사용될 수 있으며, 특히 물리에서는 변분법이 자주 활용된다. 들어봤을지는 모르겠지만 대표적으로 사이클로이드가 최단강하곡선임을 증명하는 과정에서 변분법이 사용된다.

 

변분법의 핵심적인 내용인 오일러 라그랑주 방정식을 증명하기 전에 먼저 좌표평면 상에 존재하는 두 점 $P(x_1,y_1), Q(x_2,y_2)$을 연결하는 곡선 중 가장 길이가 짧은 곡선이 직선임을 증명해봄으로써 오일러 라그랑주 방정식이 유도되는 원리를 이해해보자.

두 점을 잇는 최단곡선이 직선임을 증명

아래 그림과 같이 좌표평면에서 두 점 $P, Q$를 잇는 두 곡선 $Y(x), y(x)$가 존재한다.

좌표평면에서의 두 점 $P, Q$를 잇는 두 곡선 $Y, y$

여기서 $Y(x)$는 두 점 $P, Q$를 잇는 임의의 곡선이고, $y(x)$는 두 점 $P, Q$를 잇는 최단곡선이라고 하자. 그렇다면 두 곡선간의 관계식을 아래와 같이 서술할 수 있다.

$$
Y(x) = y(x) + \epsilon \ \eta(x)
$$

여기서 $\eta (x)$는 $\eta (x_{1}) = \eta (x_{2}) = 0$을 만족하는 임의의 함수이며, $\epsilon$은 매개변수이다.

 

다음으로, 우리는 최소화할 식을 알아야한다. 두 점을 잇는 곡선 중 길이가 최소인 곡선을 구해야되기 때문에 아래의 식의 값이 최소화되도록 해야한다.

$$
I = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt{1+Y'^{\ 2}}\ dx}
$$

이 때, $I$는 매개변수 $\epsilon$에 대한 식임을 알 수 있다. 즉, $\epsilon = 0$일 때 $I$는 최솟값을 가진다는 것을 알 수 있으며, 이 때가 극소점이므로 $\frac{dI}{d\epsilon} \bigg |_{\epsilon = 0} = 0$ 이 만족하게 된다. 그렇기에 $\frac{dI}{d\epsilon}$을 전개한 다음, $\epsilon = 0$을 대입하여 $y$에 대한 정보를 구해볼 것이다.

$$
\frac{dI}{d\epsilon} =
\frac{d}{d\epsilon}\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt{1+Y'^{\ 2}}\ dx} =
\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\frac{\partial}{\partial\epsilon}\sqrt{1+(y' + \epsilon \ \eta' )^{\ 2}}\ dx}
$$

$$
= \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\frac{\eta'(y' + \epsilon \ \eta' )}{\sqrt{1+(y' + \epsilon \ \eta' )^{\ 2}}}\ dx}
$$

 

$\epsilon = 0$을 대입해보면

$$
\frac{dI}{d\epsilon} \bigg|_{\epsilon = 0} =
\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\frac{\eta'y'}{\sqrt{1+y'^{\ 2}}}\ dx}
$$

부분적분을 해본다면

$$
= \bigg[ \frac{\eta \ y'}{\sqrt{1+y'^{\ 2}}} \bigg]_{x{1}}^{x_{2}} -
\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\eta \ \frac{d}{dx}\bigg(\frac{ \ y'}{\sqrt{1+y'^{\ 2}}}\bigg)\ dx}
$$

이 때, $\eta (x_{1}) = \eta (x_{2}) = 0$ 이므로 앞의 항이 $0$이 되면서 뒤의 항만 남게 된다. 또한 $\eta (x)$는 임의의 함수이므로 $\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\eta \ \frac{d}{dx}\bigg(\frac{ \ y'}{\sqrt{1+y'^{\ 2}}}\bigg)\ dx} = 0$ 이 항상 성립하기 위해선 $\frac{d}{dx}\bigg(\frac{ \ y'}{\sqrt{1+y'^{\ 2}}}\bigg)= 0$이 되어야 한다.

$$
\frac{d}{dx}\bigg(\frac{ \ y'}{\sqrt{1+y'^{\ 2}}}\bigg)= \frac{y''}{(1+y'^{2})^{\frac{3}{2}}} = 0
$$

$$
\therefore y'' = 0 \rightarrow y = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})+y_{1}
$$

$y$의 이계도함수가 $0$이므로 $y$는 일차방정식이며, 결론적으로는 $P, Q$를 지나는 직선이 두 점을 잇는 최단곡선임을 증명하였다.

 

이를 바탕으로 오일러-라그랑주 방정식을 증명해보자.

오일러-라그랑주 방정식

우리는 앞서 문제에서 최소화하고자 했던 식이 아래와 같았다.

$$
I = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt{1+Y'^{\ 2}}\ dx}
$$

다만 최소화하고자 하는 식이 항상 이러진 않을 것이므로 좀 더 일반적인 접근을 위해 최소화하고자 하는 식을 아래와 같이 함수 $F(x,y,y')$을 사용하여 표현하자.

$$
I = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{F(x,y,y') dx}
$$

만약 우리가 위의 식의 최솟값을 구하고 싶을 때, 함수 $F$에 관한 어떠한 방정식이 존재한다면 상당히 유용하게 써먹을 수 있을 것이다.

 

놀랍게도 그러한 방정식은 존재하며 우리는 이를 오일러-라그랑주 방정식이라 부른다. 식의 형태는 아래와 같다.

$$
\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'} - \frac{\partial F}{\partial y} = 0
$$

우리는 함수 $F$만 구할 수 있다면 방정식에 대입하여 미분방정식을 풀어냄으로써 $y$가 어떻게 나오는지 알아낼 수 있다. 이 때문에 오일러-라그랑주 방정식이 매우 유용하게 사용된다.

 

그럼 오일러-라그랑주 방정식을 유도해보자.

 

$$
I = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{F(x,Y,Y') dx}
$$

위의 식에서 $Y$는 두 점 $P, Q$를 잇는 임의의 곡선이다. 위의 식이 최소화되도록 하는 $Y$를 $y$라고 한다면 두 함수간의 관계식은 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$
Y(x) = y(x) + \epsilon \ \eta(x)
$$

앞에서도 똑같이 했던 것처럼 여기서도 $\eta (x)$는 $\eta (x_{1}) = \eta (x_{2}) = 0$을 만족하는 임의의 함수이며, $\epsilon$은 매개변수이다.

 

마찬가지 논리로 인해 $I$는 매개변수 $\epsilon$에 대한 식임을 알 수 있다. 즉, $\epsilon = 0$일 때 $I$는 최솟값을 가진다는 것을 알 수 있으며, 이 때가 극소점이므로 $\frac{dI}{d\epsilon} \bigg|_{\epsilon = 0} = 0$ 이 만족하게 된다. 그렇기에 $\frac{dI}{d\epsilon}$을 전개한 다음, $\epsilon = 0$을 대입하여 $F(x, y, y')$에 대한 식을 구해볼 것이다.

$$
\frac{dI}{d\epsilon} =
\frac{d}{d\epsilon}\int_{x_{1}}^{x_{2}}{F(x,Y,Y')\ dx} =
\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\frac{\partial}{\partial\epsilon}F(x,Y,Y')\ dx}
$$

$$
= \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\bigg(\frac{\partial Y}{\partial\epsilon} \frac{\partial}{\partial Y}F(x,Y,Y') + \frac{\partial Y'}{\partial\epsilon} \frac{\partial}{\partial Y'}F(x,Y,Y') \bigg)\ dx}
$$

$$
= \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\bigg(\eta \frac{\partial}{\partial Y}F(x,Y,Y') + \eta' \frac{\partial}{\partial Y'}F(x,Y,Y') \bigg)\ dx}
$$

(위의 전개가 이해되지 않는다면 편미분의 연쇄법칙에 대해 찾아보길 바란다)

$\epsilon = 0$을 대입해보면 $Y=y, Y'=y'$이므로

$$
\frac{dI}{d\epsilon} \bigg|_{\epsilon = 0} = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\bigg(\eta \frac{\partial}{\partial y}F(x,y,y') + \eta' \frac{\partial}{\partial y'}F(x,y,y') \bigg)\ dx}
$$

두 번째 항에 대해 부분적분을 해본다면

$$
= \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\eta \frac{\partial}{\partial y}F(x,y,y') \ dx} + \bigg[\eta \frac{\partial}{\partial y'}F(x,y,y')\bigg]_{x{1}}^{x_{2}}-\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\eta \frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}F(x,y,y') \ dx}
$$

이 때, $\eta (x_{1}) = \eta (x_{2}) = 0$ 이므로 중간 항이 $0$이 되면서 아래의 식이 $0$이 된다.

$$
= \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\eta \bigg(\frac{\partial}{\partial y}F(x,y,y')- \frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}F(x,y,y') \bigg) \ dx} = 0
$$

$\eta$는 임의의 함수이므로 위의 식이 항상성립하기 위해선 $\frac{\partial}{\partial y}F(x,y,y')- \frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}F(x,y,y') = 0$이 되어야 한다.

$$
\therefore \frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}F(x,y,y') - \frac{\partial}{\partial y}F(x,y,y') = 0
$$

 

오일러-라그랑주 방정식을 증명하였다.

 

다음 글에서는 변분법을 활용하여 최단강하곡선이 사이클로이드임을 증명해보도록 하겠다.